Basen in der Mathematik

Basen sind:

• die maximal linear unabhängige Menge an Vektoren aus einem Vektorraum.
• mit der Basis lässt sich jeder Vektor eines Vektorraums "zusammenbauen".
• es ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem

Einfach: Basen sind also Erzeugendensysteme (eine Menge von Vektoren aus denen sich alle anderen "zusammenbasteln" lassen), wobei alle Vektoren des Erzeugendensystems linear unabhängig sind.

Mathematisch: Sei X⊂V eine Teilmenge. Dann ist, nach Definition, X ein Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor v aus V sich auf mindestens eine Weise als Linearkombination von Vektoren aus X schreiben lässt. Ist X linear unabhängig, so kann man jedes v aus V, auf höchstens eine Weise als Linearkombination von Elementen aus X schreiben. Also gehört zu v eine eindeutige Linearkombination genau dann, wenn X sowohl linear unabhängig ist als auch ein Erzeugendensystem. Dafür gibt es eine spezielle Bezeichnung, nämlich Base.

Definition:  Eine Teilmenge B von V heißt Basis von V, wenn B sowohl ein Erzeugendensystem ist als auch linear unabhängig. Ist also ein Erzeugendensystem linear unabhängig, ist es eine Base. Somit ist eine Base das kleinst mögliche Erzeugendensystem. Weiter ist es auch die größtmögliche linear unabhängige Menge.

Bemerkung und Beispiel:

• Die Anzahl an Elementen der Basis gibt die Dimension des Vektorraums an. Beispiel für den 2 Dimensionalen Raum: Die Basis ist zb. B={(1|0),(0|1)}. Damit lassen sich alle Vektoren aus dem zweidimensionalen Raum aus Linearkombinationen zusammenstellen.
• Es lassen sich Elemente der Basis austauschen und es ist weiter eine Basis, so lässt sich beispielsweise der Vektor (1|0) von oben durch (2|0) ersetzten und es ist weiter eine Basis, also ist eine Basis nicht immer gleich.

Dies ist eine Base des ℝ^3 Vektorraums, denn es ist die maximal linear unabhängige Menge. Alle 3 Vektoren sind linear unabhängig und da der Raum dreidimensional ist, kann es maximal 3 linear unabhängige Vektoren geben.