Abbildungsräume

Sei M eine Menge und K ein Körper. Es soll nun gezeigt werden, dass die Menge der Abbildungen von M nach K, bezeichnet als Abb(M,K), eine natürliche Struktur als Vektorraum besitzt.

Zunächst definieren wir die Addition von Abbildungen. Für zwei Abbildungen f und g aus Abb(M,K) wollen wir die Summe f + g ebenfalls als Abbildung aus Abb(M,K) festlegen. Dazu setzen wir für jedes Element m aus M:

(f + g)(m) = f(m) + g(m)

Das Ergebnis dieser Operation ist wieder ein Element aus K, und somit ist f + g eine Abbildung von M nach K.

Für die Skalarmultiplikation definieren wir, wie ein Element λ aus K auf eine Abbildung f aus Abb(M,K) wirkt. Die skalare Multiplikation von λ mit f ergibt eine neue Abbildung λf, die für jedes Element m aus M wie folgt definiert ist:

(λf)(m) = λ * f(m)

Auch dies ist wieder eine Abbildung von M nach K.

Mit den definierten Verknüpfungen (Addition und Skalarmultiplikation) bildet die Menge Abb(M,K) einen Vektorraum. Hier sind die wesentlichen Eigenschaften im Überblick:

1. Abelsche Gruppe: Die Menge Abb(M,K) bildet zusammen mit der Addition "+" eine abelsche Gruppe. Das bedeutet, die Addition ist assoziativ, kommutativ, und es gibt ein neutrales Element, nämlich die Abbildung, die jedes m aus M auf 0 (das neutrale Element in K) abbildet. Diese Abbildung wird oft als Nullabbildung bezeichnet.

2. Inverse Abbildung: Für jede Abbildung f aus Abb(M,K) gibt es eine inverse Abbildung, bezeichnet als -f. Diese ist definiert durch -f(m) = -f(m), wobei -f(m) das additive Inverse von f(m) in K ist.

3. Vektorraumaxiome: Die Vektorraumaxiome gelten in Abb(M,K) unmittelbar, weil sie für den Körper K gelten, der das Ziel unserer Abbildungen ist. Das bedeutet, dass alle Eigenschaften wie Distributivität, Assoziativität der Skalarmultiplikation und Existenz eines neutralen Elements für die Skalarmultiplikation erfüllt sind.

Die Menge der Abbildungen von M nach K, Abb(M,K), ist also nicht nur eine einfache Menge von Funktionen, sondern sie besitzt eine reiche Struktur als Vektorraum. Diese Struktur ermöglicht es, Abbildungen zu addieren und mit Skalaren aus K zu multiplizieren, wobei alle üblichen Eigenschaften eines Vektorraums erfüllt sind.