Vektorräume
Übersicht
Definition: Ein Vektorraum über dem Körper K (auch ein K-Vektorraum genannt) ist eine abelsche Gruppe (V,+) zusammen mit einer skalaren Multiplikation. (also eine Zahl mal einen Vektor)
K×V →V
(λ,v) ↦ λv,
so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind für alle λ,µ∈ K und v,w∈V:
λ(v + w) = (λv) + (λw),
(λ + µ)v = (λv) + (µv),
λ(µv) = (λµ)v,
1Kv = v.
Hier soll 1K das neutrale Element in K bzgl. der Multiplikation stehen. Ihr könnt es euch so Vorstellen, dass v Vektoren sind und die Elemente aus K einfach die Vorfaktoren mit denen die Vektoren gestreckt werden, sodass neue Vektoren bei rauskommen, so wie ihr das bereits aus der Schule kennt.
Der Vektorraum K^n
Ist n ∈ ℕ, so ist das n-fache Produkt Kn die Struktur eines K-Vektorraums: Die Vektoren sind also n-Tupel von Elementen aus K. Es ist üblich, diese n-Tupel in Spaltenform zu notieren, wie ihr das bereits aus der Schule kennt, es sind nämlich Vektoren:
Beides sind Vektoren im ℝ4. Also ein Kn Vektorraum ist einfach ein n Dimensionaler Raum, also sind auch die Vektoren mit n-Zeilen. Allgemein wird ein Vektor im K4 so notiert:
Das bedeutet also nichts anderes, als dass x1, x2, x3 und x4 irgendwelche Elemente in K sind. Ein allgemeiner Vektor im Kn ist dann:
Kn Addition wird definiert durch die Vorschrift:
Die skalare Multiplikation auf Kn wird definiert durch:
