Abbildungen

Eine Abbildung von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem Element aus M ein Element aus N zuordnet.

Eine solche Abbildung wird durch das Symbol f : M → N notiert, und für jedes x aus M schreiben wir f(x) für das Element aus N, das x zugeordnet wird. Wenn eine Abbildung konkret angeben wird, schreiben wir manchmal auch m ↦ n, wenn die Abbildung das Element n dem Element m zuordnet.

Diese Zuordnung kann durch eine Formel oder eine Art Rechenvorschrift gegeben sein, eine Abbildung kann aber alles mögliche sein. Hier par Beispiele:

• f : N → N, f(n) = n² (oder, in anderer Schreibweise, n ↦ n²). (Es wird also jedem Element sein eigenes Quadrat zugewiesen)

• f : {1,2,3}→{1,2}, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 2. (Diese Abbildung ist fest, es wird genau gesagt, welches Element auf was abgebildet wird)

• Sei f : P(N)\{∅}→N die Abbildung, die jeder nicht leeren Teilmenge von N ihr kleinstes Element zuordnet. (Hat man also eine Teilmenge von N, wird diese auf ihr kleinstes Element abgebildet)

• Im Spezialfall M = N gibt es immer die Identität (oder die identische Abbildung) id_M: M → M, die gegeben ist durch id_M(x) = x.

• Ist M eine Teilmenge von N, so gibt es immer die Inklusion i: M → N, i(m) = m. Insbesondere gibt es für jede Menge M immer die Inklusion i: ∅→ M.

Sind M, N und O Mengen, und sind f : M → N und g: N → O Abbildungen, so kann man die Abbildung

g◦ f : M → O konstruieren, indem man dem Element x aus M das Element g(f(x)) aus O zuordnet. Die Abbildung g◦ f heißt die Verknüpfung von g und f. (Achtung bei der Schreibweise, die Abbildung die zuerst durchgeführt wird steht rechts!). Das bedeutet man bildet erst ein Element aus M mit f auf ein Element aus N ab und danach wird dieses Element mit g auf ein Element auf O abgebildet.

Ist f : M → N eine Abbildung und ist U eine Teilmenge von M, dann erhält man eine neue Abbildung von U nach M, indem man f einschränkt auf die Teilmenge U. Diese Abbildung wird mit dem Symbol f|U: U → N bezeichnet. Es wird also f abgebildet aber nur für einen Teil der Menge M, nämlich die Teilmenge U. Deshalb wird f darauf eingeschränkt

Eine Abbildung f : M → N heißt:

• injektiv, falls es zu jedem y∈ N höchstens ein x∈ M gibt mit f(x) = y.

• surjektiv, falls es zu jedem y∈ N mindestens ein x∈ M gibt mit f(x) = y.

• bijektiv, falls es zu jedem y∈ N genau ein x∈ M gibt mit f(x) = y.

Sei f : M → N eine Abbildung. Eine Umkehrabbildung von f ist eine Abbildung g: N → M mit folgenden Eigenschaften:

•  Für alle x∈ M gilt g(f(x)) = x (also g◦ f =id_M),
•  Für alle y∈ N gilt f(g(y)) = y (also f ◦g =id_n).

Also einfach gesagt, wenn man das Ergebnis von f(x) in g einsetzt, bzw. mit der Vorschrift g auf N Abbildet, soll wieder x rauskommen. Also ist g◦ f identisch mit der Menge M.

Sei f : M → N eine Abbildung. Man kann von einer Abbildung g: N → M auch nur fordern, dass sie einen Teil der Annahmen an eine Umkehrabbildung von f erfüllt, dies nennt man dann Links- bzw. rechtsinvers. Eine Abbildung g: N → M heißt:

• rechtsinvers zu f, falls f ◦ g = idN gilt

• linksinvers zu f, falls g ◦ f = idM gilt

Also eine Umkehrabbildung ist eine Abbildung die sowohl Links- als auch Rechtsinvers ist.

Beispiele:

• Sei f : Z→N die Abbildung n↦|n|. Dann ist die Inklusion i: N→Z, i(n) = n, rechtsinvers zu f, aber nicht linksinvers.

• Sei f : P(N)\{∅} → N die Abbildung, die jeder nicht-leeren Menge von natürlichen Zahlen ihr kleinstes Element zuordnet (es ist also beispielsweise f({4,76,79}) = 4). Dann ist die Abbildung g: N → P(N)\{∅}, g(n) = {n} rechts-, aber nicht linksinvers zu f.

Die Menge f(M) = {y∈ N | es gibt ein x∈ M mit f(x) = y} heißt das Bild von f. Das Bild von f ist also eine Teilmenge von N. Analog kann man das Bild einer Teilmenge U von M bilden, es ist f(U) = {y∈ N | es gibt ein x∈U mit f(x) = y}. Ganz einfach gesagt einfach das, was raus kommt wenn man alle Elemente aus M in die Abbildung f einsetzt.

Beispiele:

• Das Bild der Abbildung f : Z → Z, n ↦ n², ist f(Z) = {0,1,4,9,16,25,...}

• Das Bild der Abbildung f : N → N, n ↦ 2n ist die Menge {0,2,4,...} der geraden natürlichen Zahlen.

Ist V eine Teilmenge von N, so definieren wir f^-1(V) := {x∈ M | f(x)∈V}. Dies heißt die Faser von f über V, oder auch das Urbild von V unter f.  f^-1(V) ist eine Teilmenge von M! Es bedeutet, dass man für ein Element aus V "nachguckt", was man für x einsetzen müsste, dass dieses Element erhält, bzw. man schaut für alle Elemente aus V welche Elemente aus M in f eingesetzt werden müssen, um jeweils ein bestimmtes Element aus V zu erhalten. Zb. hat man ein Element a und schaut dann, welches Element in f eingesetzt werden musste, damit a raus kommt.

Tipp: 

• Eine Abbildung f : M → N ist injektiv genau dann, wenn für jedes y∈ N die Menge f^-1(y) höchstens ein Elementent hält.
• Sie ist surjektiv genau dann, wenn für jedes y∈ N die Menge f^-1(y) mindestens ein Element enthält

ACHTUNG: Hier gibt es notationstechnisches Problem. Beachtet bitte, dass hier mit “f^-1” nicht die Umkehrabbildung von f gemeint ist. Die Fasern kann man für beliebige, nicht unbedingt umkehrbare Abbildungen definieren. Ob das Symbol f^-1 für eine Umkehrabbildung oder eine Faser steht, sollte immer aus dem Zusammenhang hervorgehen.