Lineare Gleichungssysteme

Übersicht:

1. Hyperebenen
2. Zeilensturfenform
3. Gauß-Algorithmus

Ein lineares Gleichungssystem mit m Unbekannten und n Gleichungen mit Koeffizienten in ℝ ist ein Ausdruck der Form:

a₁₁X₁ + ... + a_1mX_m = b₁

a₂₁X₁ + ... + a_2mX_m = b₂

...

a_n1X1 + ... + a_nmX_m = b_n,

wobei a_ij für i = 1,...,n, j = 1,...,m und b_l für l = 1...,n fest vorgegebene Elemente aus R seien. Die Symbole X_i heißen Unbekannte. (kennt ihr ja schon aus der Schule)

Oft lässt man, falls a_ij = 0 ist, den Ausdruck 0X_i weg, und schreibt statt 1X_i  nur X_i, so dass ein Gleichungssystem also auch beispielsweise die folgende Form haben kann (genauso wie ihr es aus der Schule kennt):

2X₁ + X₂ + 16X₃ = 6

 X₁  +            7X₃ = 7

Definition: Sei ein lineares Gleichungssystem A mit m Unbekannten und n Gleichungen wie oben gegeben. Eine Lösung des Gleichungsystems ist ein m-Tupel (x₁,...,x_m) reeller Zahlen (also ein Element in ℝ^m) mit der Eigenschaft, dass die vorgegebenen Gleichungen erfüllt werden, sobald man, für alle i = 1,...,n, die Zahl x_i anstelle von X_i einsetzt.

Beispiele:

Ihr könnt die Gleichungssysteme lösen, indem ihr es genauso macht, wie ihr es in der Schule auch gelernt habt (Äquivalenzumformung).

• Wir betrachten das Gleichungssystem 

   

  2X₁ + 5X₂ = 3

  3X₁ + 7X₂ = 5

mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen. Hier gibt es eine, aber auch nur eine Lösung, nämlich (x₁,x₂) = (4,−1) (zum Lösungsverfahren Gauß-Algorithmus)

• Das Gleichungssystem... 

   

  2X₁ + 4X₂ = 3,

  X₁ + 2X₂ = 5

...hat gar keine Lösung.

• Das Gleichungssystem 

  X₁ + 3X₂ = 1,

  2X₁ + 6X₂ = 2

...hat unendlich viele Lösungen: Für jedes X₁∈ℝ ist (X₁, (1−X₁)/3) eine Lösung.