Matrizen

Bisher wurden lineare Abbildungen zwischen ganz abstrakten Vektorräumen betrachtet. Wir wenden uns nun dem wohl wichtigsten Beispiel zu, nämlich der Situation V = Kⁿ und W = K^m für zwei natürliche Zahlen m und n. Es wird sich herausstellen, dass die linearen Abbildungen von Kⁿ nach K^m genau den m×n Matrizen mit Einträgen in K entsprechen. So lassen sich Vektoren aus einem n dimensionalen Raum in einen m dimensionalen Raum abbilden.

Seien m,n≥1. Eine m×n-Matrix ist ein Schema der Form

mit mn Elementen a_ij aus K.

Wir bezeichnen mit Mat(m×n,K) die Menge aller m×n-Matrizen. Das ist also nichts anderes als die Menge der mn-Tupel von Elementen aus K (also wenn K die reellen Zahlen sind einfach Reelle Zahlen). Sei A = (a_ij) eine m×n-Matrix. (m sind die Zeilen, gibt also die Anzahl an Zeilen an und n sind die Spalten.) Dann definieren wir die lineare Abbildung

f_A: Kⁿ → K^m

durch

Diese Abbildung ist linear.

Richtiges Einsetzen: Dies bedeutet einfach man setzt x₁,...,x_n in die Matrix ein, indem man jedes x in jede Zeile der Reihe nach einsetzt, also a₁₁ mal x₁, a₁₂ mal x₂ usw. danach genauso in die 2. Zeile, also a₂₁ mal x₁, a₂₂ mal x₂ usw. Die Ergebnisse Addiert man jeweils in der Zeile und hat dann einen neuen Vektor im K^m

Die obigen Konstruktion liefern zueinander inverse Abbildungen

Mat(m×n,K)→Hom_K(Kⁿ,K^m)

A↦f_A

und

Hom_K(Kⁿ,K^m)→Mat(m×n,K)

f ↦ M_f.

Eine Matrix ist also eigentlich nichts anderes als eine Abbildung bzw eine Abbildungsvorschrift, mit der sich Vektorräume abbilden lassen.

Ein Beispiel ist, wenn man folgenden Vektor mit folgender Matrix abbildet:

Dies funktioniert dann genauso wie oben beschreiben, einsetzten und ausrechnen, so erhaltet ihr euer Ergebnis: