Matrix bezüglich einer Basis bestimmen / Basiswechsel

Wenn ihr eine Matrix bezüglich einer Basis bestimmen sollt, ist dies nichts anderes als die eine Basis mit der Abbildungsvorschrift abzubilden und dann das Ergebnis mit der anderen Basis zu schreiben (also z.B. 3 mal der erste Vektor, dann 2 mal der andere usw.). Dies lässt sich am besten mit Beispielen Erklären:

Gegeben seien diese Abbildungsvorschrift:

Und diese Basen:

Nun gibt es verschiedene mögliche Aufgabenstellungen und Möglichkeiten.

1. Beispiel:

Man soll folgendes berechenen:

Den Vektor bezüglich der Basis A (von oben) schreiben:

Das bedeutet die Vektoren der Basis A sollen als Linearkombination diesen Vektor ergeben. Die Vorfaktoren ergeben dann das Ergebnis:

Ihr seht der erste Vektor der Basis A 0 mal, der 2. Vektor -1 mal und der 3. Vektor der Basis 1 mal. Dann schreibt ihr einfach die Anzahl der Basis Vektoren untereinander und habt das Ergebnis. Mehr Steckt nicht dahinter.

2. Beispiel:

Ihr sollt folgendes berechnen:

Das Bedeutet ihr sollt die Basis A bezüglich der Basis B schreiben. Es ist immer so, dass die Basis die rechts steht in Elementen aus der Basis geschrieben werden soll die links steht. Dazu setzt man die Basis rechts erst in die Abbildung ein und schreibt dann das Ergebnis in Linearkombinationen der Elemente aus Basis B.

Um das Beispiel zu berechnen setzt ihr also erst alle Elemente der Basis A nacheinander in die Abbildungsvorschrift ein. Die Ergebnisse die dann raus kommen schreibt ihr dann wie in Beispiel 1 als Linearkombinationen der Elemente von Basis B. Die Vorfaktoren (wie oft die erste und die zweite Basis) schreibt ihr wieder wie oben untereinander hin und fertig :)

Ihr seht beim ersten Vektor kommt mit der Abbildungsvorschrift (3,5) raus. Das schreibt ihr dann in den Basiselementen von B. Also -1 mal der erste Vektor plus 2 mal der 2. Vektor.

Dann müsst ihr nur noch die Vektoren die ihr dadurch erhalten habt hintereinander schreiben, so erhaltet ihr die Matrix nach der gefragt wurde in der Angabe: