Kern und Bild einer Linearen Abbildung

 Sei f : V → W ein Homomorphismus von Vektorräumen.

• Das Bild von f ist dann:

  im f := f(V) = {w∈W | w = f(v) für ein v∈V}.

  Das Bild einer Abbildung ist plump gesagt das, was raus kommt, wenn man die Elemente von der Menge mit der Abbildungsvorschrift abbildet.                                                                  

• Der Kern von f ist

  ker f := f⁻¹(0) = {v∈V | f(v) = 0}.

  der Kern deiner Abbildung ist die Menge aller Elemente von V {\displaystyle V} V, die auf das neutrale Element 0 W {\displaystyle 0_{W}} 0 des Vektorraums W {\displaystyle W} W abgebildet werden. Also zum Beispiel die Vektoren die Multipliziert mit einer Matrix den 0 Vektor ergeben.

Ker f und im f sind Spezielle Teilmengen von V bzw. von W. Der Kern von f ist ein Untervektorraum von V und das Bild von f ist ein Untervektorraum von W.

Wenn  f : V →W ein Homomorphismus ist, weiß man auch, dass:

• f ist genau dann injektiv, wenn ker f = {0_V}.
• f ist genau dann surjektiv, wenn im f = W.