Äquivalenzklassen und Vertretersysteme

Sei∼eine Äquivalenzrelation auf der Menge X. Für jedes Element x aus X definieren wir seine Äquivalenzklasse wie folgt:

[x] := {y∈ X |y∼ x}.

(Manchmal schreibt man auch [x]∼ statt [x], um die Abhängigkeit von ∼ zu betonen.) Es ist nichts anderes als ein Element einer Äquivalenzlklasse, welches dann Symbolisch für alle Elemente steht, die diese Klasse haben.

Beim Beispiel welches bei den Äqivalenzrelationen gezeigt wurde ((x,y) ∈ ℝ genau dann, wenn x−y ∈ℤ.), wäre es zum Beispiel [10] oder [1,5]. Diese Äquivalenzklassen stehen dann für alle Zahlen die y-10∈ℤ bzw y-1,5∈ℤ ergeben. Dabei ist zu beachten, dass hier [10]=[5]=[1].... und [1,5]=[2,5]... denn diese haben die selbe Äquivalenzklasse, da man ja für alle die selben Elemente/Zahlen einsetzten kann, sodass y-x∈ℤ zutrifft. So ist 2-10∈ℤ, genauso wie 2-5∈ℤ ist. Die Äquivalenzklasse ist also nichts anderes, als ein Element, das Repräsentativ für alle Elemente steht, die eingesetzt werden können, sodass die Äquivalenzrelation erfüllt ist.

Vorstellung: Dies kann man sich auch so vorstellen, das eine Äquivalenzrelation einfach alles parallelen Geraden sind. Jede Gerade entspricht einer Äquivalenzklasse, nämlich der Geraden die durch ein bestimmten y-Achsenabschnitt verläuft. Eine Äquivalenzklasse wäre also genau eine Gerade die man dann einfach durch einen Punkt auf der Geraden spezifizieren könnte. Das wäre dann einfach die Äquivalenzklasse, da der Punkt diese genau angibt da es keine weitere Gerade gibt die dort hindurchgeht.

Also ist [x] eine Teilmenge von X. Diese Teilmengen liefern eine disjunkte Zerlegung der Menge X. Für x,y∈ X sind äquivalent:

• x∈[y],
• [x]∩[y]≠∅,
• [x] = [y].

Sei X eine Menge und ∼ eine Äquivalenzrelation. Eine Teilmenge Z von X heißt Vertretersystem für∼, falls es zu jedem y ∈ X genau ein z ∈ Z gibt mit y∼z.

Es ist also nichts anderes als eine Menge Z die immer genau ein Element jeder Äquivalenzrelation enthält.

Beispiel/Vorstellung: Stellt man sich die Äquivalenzrelation als lauter parallele Geraden vor, wobei eine Gerade jeweils einer Äquivalenzrelation entspricht und ein Punkt der Gerade wäre dann eine Äquivalenzklasse, dann wäre eine Gerade die nicht parallel durch alle Geraden verläuft ein Vertretendensystem, da diese Gerade alle Geraden schneidet und somit von jeder Äquivalenzrelation genau ein Element bzw. einen Vertreter enthält. Das nennt man dann Vertretendensystem.