Quotientenvektorräume

Sei V ein K-Vektorraum und sei U ⊂ V ein K Untervektorraum. Wir definieren zunächst eine Äquivalenzrelation ∼ auf V: für x,y ∈ V setzen wir x ∼ y genau dann, wenn x−y in U enthalten ist.

Aus den Untervektorraumaxiomen folgt, dass ∼ sicherlich symmetrisch, reflexiv und transitiv ist, also eine Äquivalenzrelation. Mit [x] ⊂ V bezeichnen wir die Äquivalenzklasse von x. Sei V/U := V/ ∼ die Menge der Äquivalenzklassen von ∼ in V und sei can: V →V/U, can(x) = [x], die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet.

Satz: Es gibt auf der Menge V/U genau eine Struktur eines K-Vektorraums, so dass die kanonische Abbildung

can: V →V/U x↦[x] ein Homomorphismus von K-Vektorräumen ist.

Das Paar (V/U,can) nennt man auch einen Quotienten von V nach U. Oftmals nennt man auch nur den Vektorraum V/U einen Quotienten von V nach U, aber dann denkt man sich immer implizit die kanonische Abbildung can hinzu.

Beweis: Es sei x ∼ x´ und y∼y´. Dann ist:

x + y∼ x´ + y´,

denn

x + y−(x´ + y´) = (x− x´) + (y−y´)

ist in U enthalten, da x− x´ und y−y´ in U enthalten sind.

Ist λ∈ K, so ist

λx∼λx´,

denn

λx−λx´ = λ(x−x´)

ist ebenfalls in U. Die Rechnungen im letzten Abschnitt zeigen, dass [x + y] und [λx] nur von den Äquivalenzklassen [x] und [y] von x und y abhängen, nicht aber von der Wahl der Vertreter. Also können wir eine Addition und eine skalare Multiplikation auf V/U definieren durch

[x] + [y] := [x + y], λ[x] := [λx].