Dualräume

Dualräume sind relativ abstrakt, um zu verstehen was sie sind, müsst ihr erstmal wissen, was eine Linearform ist: Eine Linearform auf V ist eine lineare Abbildung von V nach K.

Die Definition eines Dualraums lautet wie folgt: Der Dualraum von V ist der Vektorraum V^∗ = Hom_K(V,K) der Linearformen auf V. (Falls ihr noch mal nachgucken wollt was Hom_K bedeutet hier der Link.) Diese Defintion ist recht abstrakt, aber sie bedeutet einfach nur, dass der Dualraum alle linearen Abbildungen des Vektorraums V nach K enthält. Also die Elemente von V^∗sind alles lineare Abbildungen, mehr steckt da nicht dahinter! (Wie man die Elemente aus V^∗ einsetzt seht ihr unten bei duale Abbildungen)

Nun par grundlegende Eigenschaften und Rechenregeln:

$+\colon V^{*}\times V^{*}\rightarrow V^{*}$ durch ( f + g ) ( x ) := f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle \left(f+g\right)(x):=f(x)+g(x)} $\left(f+g\right)(x) := f(x) + g(x)$ für alle x ∈ V , f , g ∈ V ∗ {\displaystyle x\in V,f,g\in V^{*}} $x\in V, f , g\in V^*$

$\cdot \colon K\times V^{*}\rightarrow V^{*}$ durch ( α f ) ( x ) := α f ( x ) {\displaystyle (\alpha f)\left(x\right):=\alpha f(x)} $(\alpha f)\left(x\right) := \alpha f(x)$ für alle x ∈ V , f ∈ V ∗ , α ∈ K {\displaystyle x\in V,f\in V^{*},\,\alpha \in K} $x\in V, f \in V^*,\,\alpha \in K$

Ist V endlich dimensional, so ist dim_K V = dim_K V^∗.

Duale Abbildungen

Sei f : V →W eine lineare Abbildung. Die zu f duale oder transponierte Abbildung ist f^∗: W^∗ →V^∗, (dies ist immer so definiert!) die gegeben ist durch

f^∗(φ)(v) = φ(f(v))

für alle v∈V und φ∈W^∗. (Das bedeutet man hat die Abbildung f von V nach W und eine lineare Abbildung φ von W nach K, allerdings ist ja v ein Element vom Vekotrraum V, die duale Abbildung bildet so zu sagen v erst nach W ab, sodass dann φ angewendet werden kann, oder umgedreht bildet sie φ auf V^∗ ab und dann v auf K) Es ist also genauso, wie wenn man erst v auf W abbildet und dann auf K nur, dass man es so zu sagen andersrum macht. Also, etwas anders geschrieben, ist

f^∗(φ): V → K

also die Abbildung

φ◦f : V →W → K.

Ist φ∈W^∗, so ist die oben deﬁnierte Abbildung f^∗(φ) tatsächlich in V^∗, also eine lineare Abbildung von V nach K. Sind nämlich v,w∈V und λ∈ K, so ist

f^∗(φ(v + w))

= φ(f(v + w))

= φ(f(v) + f(w))

= φ(f(v)) + φ(f(w))

= f^∗(φ)(v) + f^∗(φ)(w) 64

und

f^∗(φ)(λv)

= φ(f(λv))

= φ(λf(v))

= λ(φ(f(v)))

= λ(f^∗(φ)(v))

= (λf^∗(φ))(v).

Seien g: V → W und f : W → X lineare Abbildungen. Dann ist:

(f ◦g)^∗ = g^∗◦ f^∗.

Beweis. Es ist

(g^∗◦ f^∗)(λ) = g^∗(λ◦ f)

= λ◦ f ◦g = (f ◦g)^∗(λ)

für alle λ∈ X^∗.