Alternierende Multilineare Abbildungen

Eine multilineare Abbildung f:V×...×V→W heißt alternierend, wenn sie die folgende Eigenschaft besitzt:

Wenn für eine gegebene Folge von Vektoren v₁,v₂,...,v_n ein Paar von Indizes i und j existiert, bei dem i≠j und v_i=v_j, dann gilt:

f(v₁, ..., v_n) = 0

Das bedeutet, dass die Abbildung f den Wert 0 annimmt, wenn zwei der Eingabevektoren identisch sind. In diesem Fall nennt man die Abbildung alternierend.

Eine wesentliche Eigenschaft von alternierenden multilinearen Abbildungen ist die folgende:

Wenn man zwei Vektoren in der Eingabe vertauscht, ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses. Das heißt:

f(..., v_i, ..., v_j, ...) = -f(..., v_j, ..., v_i, ...)

Diese Eigenschaft ist besonders wichtig in der linearen Algebra, da sie beispielsweise bei der Definition von Determinanten und dem Verständnis von Differentialformen verwendet wird.

Um zu zeigen, warum diese Vorzeichenänderung auftritt, betrachten wir eine Situation, in der die Vektoren v_i und v_j gleich sind:

1. Setzen wir v_i+v_j anstelle von v_i und v_j in die Abbildung f ein:

0 = f(..., v_i + v_j, ..., v_i + v_j, ...)

2. Da die Abbildung multilinear ist, kann man die Berechnung wie folgt aufteilen:

0 = f(..., v_i, ..., v_i + v_j, ...) + f(..., v_j, ..., v_i + v_j, ...)

3. Diese Terme lassen sich weiter zerlegen:

0 = f(..., v_i, ..., v_i, ...) + f(..., v_i, ..., v_j, ...) + f(..., v_j, ..., v_i, ...) + f(..., v_j, ..., v_j, ...)

4. Da f alternierend ist, sind die Terme null, in denen v_i=v_j:

0 = 0 + f(..., v_i, ..., v_j, ...) + f(..., v_j, ..., v_i, ...) + 0

5. Daraus folgt:

f(..., v_i, ..., v_j, ...) = -f(..., v_j, ..., v_i, ...)

Diese Vorzeichenänderung ist charakteristisch für alternierende multilineare Abbildungen und spielt eine zentrale Rolle bei der Untersuchung von Determinanten und anderen algebraischen Strukturen.

Um das Konzept besser zu verstehen, betrachten wir einige Beispiele und Anwendungen:

1. Determinantenberechnung: Eine der bekanntesten Anwendungen alternierender multilinearer Abbildungen ist die Berechnung von Determinanten. Die Determinante einer Matrix ist eine alternierende multilineare Abbildung der Spaltenvektoren der Matrix. Wenn zwei Spaltenvektoren gleich sind, ist die Determinante 0, und wenn zwei Spalten vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
2. Differentialformen: In der Differentialgeometrie spielen alternierende multilineare Abbildungen eine wichtige Rolle bei der Definition von Differentialformen, die zur Beschreibung von geometrischen Objekten und Feldern auf Mannigfaltigkeiten verwendet werden.
3. Vektorraum der alternierenden Abbildungen: Der Raum aller alternierenden multilinearen Abbildungen von V×...×V nach WW bildet selbst einen Vektorraum. Dieser Vektorraum ist besonders interessant in der Algebra und Analysis, da er viele Symmetrien und Strukturen aufweist.

Alternierende multilineare Abbildungen sind eine spezielle Art von Abbildungen, bei denen das Ergebnis null ist, wenn zwei Eingabevektoren gleich sind. Eine zentrale Eigenschaft dieser Abbildungen ist, dass das Vertauschen von zwei Vektoren in der Eingabe das Vorzeichen des Ergebnisses umkehrt. Diese Konzepte sind besonders wichtig in der linearen Algebra, beispielsweise bei der Berechnung von Determinanten, und in der Differentialgeometrie.