Mengen mit Verknüpfungen

Definition: Eine Verknüpfung ”◦” auf M ist eine Abbildung ◦: M×M → M

Eine Verknüpfung auf M ist also nichts anderes als eine Vorschrift, die zwei Elementen a und b aus M ein neues Element aus M zuordnet (Funktionen sind z.B.: auch Abbildungen), das man mit a◦b bezeichnet. Dabei kommt es auf die Reihenfolge an, im allgemeinen ist a◦b nicht das selbe wie b◦a. Der Kringel steht nur für irgend eine beliebige Verknüpfung, diese kann "+" sein oder auch was ganz anderes.

Beispiele: 

• M = ℝ und ◦ = + (das heißt der Kringel ist ein +), also a◦b = a + b,
• M = ℝ und ◦ = ·, also a◦b = a·b.
• Sei M eine beliebige Menge und die Verknüpfung definiert durch a◦b = a für alle a,b∈ M.
• Sei M beliebig und sei e ∈ M irgendein Element. Dann können wir eine Verknüpfung definieren durch a◦b=e für alle a,b∈ M.
• Sie A eine Menge und M = P(A) die Menge aller Teilmengen von A und die Verknüpfung definiert durch U◦V = U∩V.
• Sei N eine beliebige Menge und M = Abb(N,N) die Menge aller Abbildungen von N nach N und f ◦ g die Verkettung der Abbildungen f und g.

Klassifizierung von Verknüpfungen:

• kommutativ, falls a◦b = b◦a für alle a,b aus M gilt. 

• assoziativ, falls (a◦b)◦c = a◦(b◦c) gilt für alle a,b,c aus M.

Ein Element e aus M heißt neutral (bzgl. der Verknüpfung◦), falls für alle a aus M gilt: a◦e = a und e◦a =a.

Bemerkung: Es kann höchstens ein neutrales Element in einer Menge geben.

Sei a ein Element aus M. Ein Element b heißt invers zu a, falls a◦b = e und b◦a = e gilt.

Bemerkung: Für jedes Element in einer Menge kann es höchstens ein inverses Element geben.

Beweis:  Sind b und b´ invers zu a, so gilt b = b◦e = b◦(a◦b´) = (b◦a)◦b´ = e◦b´ = b´.