Gruppen und Untergruppen

Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ◦, die:

• assoziativ ist 
• und für die ein neutrales Element und für jedes Element ein Inverses existiert.

Eine Gruppe besteht also immer aus zwei Daten: einer Menge und einer Verknüpfung. Deshalb schreibt man auch oft “Sei (G,◦) eine Gruppe”. Um sich Schreibarbeit zu sparen, sagt man oft kurz “Sei G eine Gruppe” und denkt sich die Verknüpfung ◦ dazu.

• In einer Gruppe nennt man die Verknüpfung auch oft Multiplikation und man schreibt oft ab anstatt a◦b. 

• Man nennt G eine kommutative (oder abelsche) Gruppe, falls die Verknüpfung “◦” kommutativ ist. 

• Ist G kommutativ, so schreibt man oft auch “+” für die Verknüpfung und nennt dies Addition. Das neutrale Element wird dann mit “0” bezeichnet, und das zu a inverse Element mit−a. Anstatt b + (−a) schreibt man dann b−a.

Beispiele:

• (ℤ,+) ist eine Gruppe, (ℕ,+) ist keine Gruppe.

• (ℝ,+) und (ℝ\{0},·) sind Gruppen. 

• Die triviale Gruppe ist die einelementige Menge M = {e} mit der trivialen Verknüpfung: e◦e = e.

Genauso wie Teilmengen kann man nun auch Untergruppen definieren. Man muss nur die Verknüpfung berücksichtigen. Sei M eine Menge mit Verknüpfung “◦” und U eine Teilmenge von M. Die Verknüpfung “◦” ist eine Abbildung von M × M nach M. Diese Abbildung kann man auf die Teilmenge U×U von M×M einschränken (ihr könnt dies beim Thema Abbildungen nochmal für Abbildungen angucken, das funktioniert genauso) und erhält eine Abbildung von U×U nach M, die man vereinfacht wieder durch das Symbol “◦” bezeichnet (statt “◦|U×U”). Das bedeutet, man bildet nur einen Teil der Menge (also die Teilmenge) U mit der Verknüpfung ab. Dies nennt man dann "Abbildung auf U einschränken."

Definition: Die Teilmenge U heißt stabil oder abgeschlossen unter der Verknüpfung “◦”, falls für alle a,b aus U auch a◦b in U enthalten ist. Also wenn man zwei Elemente aus U verknüpft erhält man wieder ein Element aus U. Ist U also stabil unter “◦”, so erhält man eine neue Abbildung ◦: U×U →U, also eine Verknüpfung auf U. (Das bedeutet es darf kein Element rauskommen, dass nicht in U ist)

Definition Untergruppe:

Sei G eine Gruppe mit Verknüpfung “◦”. Eine Teilmenge U von G heißt Untergruppe von G, falls:

• U stabil ist unter “◦”, 

• U mit der Verknüpfung “◦” ebenfalls eine Gruppe ist.

Beispiele: 

• Die Menge {n/3 | n ∈ Z} = {...,−2/3,−1/3, 0, 1/3, 2/3,...} ⊂ ℚ ist eine Untegruppe von (ℚ,+).

• Die Menge {n/3 | n ∈ Z, n\{0}} = {...,−2/3,−1/3, 1/3, 2/3,...} ⊂ ℚ\{0} ist keine Untergruppe von (ℚ\{0},·).

Wenn U eine Untergruppe von G ist, dann gilt:

• Das neutrale Element in U ist das selbe wie in G
• Das Inverse Element eines Elements a in U, ist das selbe Inverse Element wie das für a in G.