Topologische Begriffe im ℝ^n

In diesem Kapitel wird die Struktur von Punktmengen im ℝⁿ untersucht.

Die euklidische Länge eines Vektors x wird folgendermaßen definiert:

Seien x,y ∈ℝⁿ. ||x−y|| heißt euklidischer Abstand von x und y. Es ist der kürzeste Abstand zweier Punkte in einem Koordinatensystem.

• Für x,y ∈ ℝⁿ nennt man ⟨x,y⟩ das euklidische Skalarprodukt. Es ist ⟨x,y⟩ = (⟨x,y⟩)^1/2.

• Sei x₀ ∈ ℝⁿ. Die Menge U_ε(x₀) := {x ∈ℝⁿ | ||x−x₀|| < ε } heißt ε-Umgebung von (oder ε-Kugel um) x₀ in ℝⁿ

• Eine Menge U ⊂ ℝⁿ heißt Umgebung von x₀, falls es ein ε > 0 gibt, sodass U_ε(x₀) ⊂ U
•  Bolzano-Weierstraß für Mengen: Jede beschränkte Teilmenge M des ℝⁿ mit unendlich vielen Punkten besitzt mindestens einen Häufungspunkt