Sei M ⊂ ℝ nicht leer. Eine Zahl s ∈ ℝ heißt Supremum von M, kurz supM, falls gilt:
- x ≤ s ∀x ∈ M
- s ≤ a für alle oberen Schranken a von M.
Ist s ∈ M, so heißt s Maximum von M (ACHTUNG Maximum ist ein Spezialfall). Es ist also die kleinste obere Schranke von M, was einfach bedeutet, es ist das erste (und somit kleinste) Element
was M einschränkt, so zu sagen eine Grenze zwischen der Menge und allen Elementen die nach oben hin nicht mehr enthalten sind. Man sagt kleinste obere Schranke, da größere Zahlen die nicht
in M liegen ja auch Schranken sind, die werden aber nie erreicht. Maximum nennt man es dann, wenn diese Grenze noch selbst in der Menge liegt.
Beispiel:
Für M = (0,1)∪[35,100] ist a = 100 Maximum von M, da 100 in der Menge M liegt.
Für M = (0,1)∪[35,100) ist s = 100 Supremum von M, aber nicht Maximum von M, da 100 nicht mehr in der Menge M liegt.
Sei M ⊂R nicht leer. m ∈ℝ heißt Infimum von M, falls
- m ≤ x ∀x in M,
- a ≤ m für alle unteren Schranken a.
Ist m ∈ M, so heißt m Minimum von M. Es ist also genauso, wie das Supremum, nur für die untere Schranke.
Beispiel:
Für M = (0,1)∪[35,100] ist m = 0 Infimum von M, aber nicht Minimum von M. (da 0 nicht in M liegt)
