Reelle Funktionen und Stetigkeit

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit reellwertigen Funktionen. Eine erste naive Vorstellung einer solchen Funktion ist etwa die folgende: Eine reelle Funktion f von einer Menge M ⊂ ℝ nach ℝ (Schreibweise: f : M → ℝ ), ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ M genau ein Element f(x) in ℝ zuordnet. Die Abbildung von x nach f(x) wird auch mit x ↦ f(x) bezeichnet. Die Menge M bezeichnet den Definitionsbereich von f. Das Bild von f ist definiert als f[M] := {f(x)|x ∈ M}. Ist L ( M, dann bezeichnet f|L : L → ℝ, x↦ f(x) für alle x ∈ L, die Restriktion von f auf L. Es ist also nicht anders wie ihr das schon in der Schule gelernt habt. Eine einfache Funktion also.

 

 

Eine Funktion heißt stetig wenn:

 

Sei f : M →ℝ. f heißt stetig in x0∈M, falls es für jedes ε > 0 ein δ(ε) > 0 gibt, so dass |f(x)−f(x0)| < ε für alle x ∈ M mit |x−x0| < δ(ε).

 

 

Beispiele:

 

Konstante Funktionen sind stetig. Sei ε > 0 beliebig. Für jedes δ > 0 und jedes x0∈ℝ gilt: 0 = |f(x)−f(x0)| < ε für alle x mit|x−x0| < δ, d.h. Stetigkeit in x0 für beliebige x0∈ℝ.

 

 

Sei M⊂ℝ und f : M →ℝ. f ist genau dann stetig in x0∈ M, falls eine der beiden folgenden äquivalenten Aussagen gilt:

 

  • Zu jeder Umgebung V von f(x0) gibt es eine Umgebung U von x0, so dass f(x) ∈ V für alle x∈ U ∩M.
  • Für jede Folge (xn)n∈N in M mit limn→∞xn = x0 gilt: limn→∞f(xn) existiert und ist gleich f(x0).

Schritt für Schritt Anleitung zum Beweis von Stetigkeit

  1. Schritt ”f stetig in x0 ⇒ 1. Punkt oben” Sei V Umgebung von f(x0). Dann gibt es in ε > 0, sodass die ε-Umgebung Uε(f(x0)) in V liegt. Da f stetig in x0 ist, gibt es eine Umgebung Uδ(x0), so dass f(x−f(x0)| < ε für alle x∈Uδ(x0)∩M. D.h., f(x) ∈ Uε(f(x0)) ⊂ V für alle x ∈ Uδ(x0). Setze U := Uδ(x0).
  2. Schritt ”1. Punkt oben ⇒ 2. Punkt oben” Sei (xn)n∈N Folge in M mit Grenzwert x0 ∈ M. Es genügt zu zeigen, dass für jedes ε > 0 fast alle Folgenglieder von (f(xn))n∈N in Uε(f(x0)) liegen. Setze V := Uε(f(x0)). Wegen dem oberen ersten Punkt gibt es insbesondere Uδ(x0), so dass f(x)∈ V für alle x∈ Uδ(x0). Mit limn→∞xn = x0 liegen fast alle Folgenglieder in Uδ(x0) und somit liegen fast alle Folgenglieder von (f(xn))n∈N in Uε(f(x0)).
  3. Schritt ”2. Punkt oben ⇒ f ist stetig in x0” Wäre f nicht stetig in x0, so gäbe es ε > 0, so dass für alle δ > 0 ein x mit |x−x0| < δ existiert, so dass |f(x)−f(x0)|≥ ε gilt. Folglich gäbe es Folgen (xn)n∈N mit limn→∞xn = x0, aber |f(xn)−f(x0)|≥ ε für alle n ∈ ℕ. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.

 

Sätze zur Stetigkeit

  • Es seien f,g : M → ℝ stetig in x0∈ M. Dann sind auch f ·g : M → ℝ und f + g : M →ℝ stetig in x0∈M.
  • Polynome sind stetig in allen Punkten.

  • Sei f : M →ℝ, M⊂ℝ, stetig in allen Punkten des Definitionsbereichs. Dann heißt f stetig auf M bzw. stetige Funktion von M nach ℝ.

  • Seien f : M →ℝ und g : L →ℝ stetig, und das Bild von M unter f sei in L enthalten. Dann ist g◦f : x↦(f(x)) stetig