Folgen und Konvergenz

Folgen sind ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik und werden zur Definition nicht nur von Begriffen wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit, sondern auch von transzendenten Funktionen wie exp, sin, cos verwendet.

Definition: Sei M eine Menge. Abbildungen von N nach M heißen (M-wertige) Folgen. Statt a(n) schreibt man a_n für das Bild von n ∈ℕ. Die gesamte Folge wird mit (a_n)_n∈ℕ bezeichnet. Macht euch keinen Kopf wegen der Schreibweise, das ist eigentlich wie eine Funktion, in der ihr Zahlen für das n einsetzt und schaut was passiert, wenn ihr ein größeres oder kleineres n einsetzt. Wenn nur das a_n da steht, ist die Abbildung allgemein gemeint, also die Vorschrift wie abgebildet wird ohne was einzusetzen, wenn aber da steht (a_n)_n∈ℕ ist gemeint, was raus kommt, wenn Zahlen für n eingesetzt werden. Also konkrete Werte. Es ist also nichts anderes als eine Folge von Zahlen.

Beispiele:

Konvergenz ist die Eigenschaft von Folgen, dass sie gegen einen bestimmten Wert konvergieren. Das bedeutet, dass sich der Wert der Folge für unendlich viele Elemente einem bestimmten Wert annähert.

Definition:

• “Eine Folge (a_i)_i∈ℕ hat den Grenzwert a ∈ ℝ” oder “die Folge (a_i)_i∈ℕ konvergiert gegen a”, wenn (a−a_i)_i∈N eine Nullfolge ist. Schreibweise: lim i→∞ a_i = a oder a_i → a für i →∞.
• alternativ durch “Epsilontik”: Eine Folge (a_i)_i∈ℕ konvergiert gegen a, falls gilt: für jedes ε > 0 gibt es ein i₀ ∈ℕ, sodass |a_i −a| < ε für alle i ≥ i₀ gilt. Also Einfach ausgedrückt, egal wie klein man ε wählt man findet immer Zahlen |a_i −a| die kleiner sind, also liegen sie immer näher aneinander und Konvergieren daher.
• Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn jede Umordnung der Reihenfolge der Glieder ebenfalls konvergent ist und den gleichen Wert hat. Andernfalls heißt sie bedingt konvergent.

 Rechenregeln:

Für Grenzwerte L₁ (von x_n ) und L₂ (von y_n) gilt:

• lim_{n→ ∞} (x_n+y_n)= L₁+L₂

• lim_{n→ ∞} (x_ny_n)= L₁L₂

• lim_{n→ ∞} (1/y_n)= 1/L₂ (natürlich darf dann sowohl der Grenzwert als auch die Folge nicht 0 sein.)

Eine Folge heißt divergent, wenn es keinen wert a gibt, gegen die die Folge Konvergiert. Zum Beispiel die Folge a_n := (−1)ⁿ, n ∈ ℕ, da diese Folge nur von 1 und -1 hin und her springt, ist sie Divergent.

Monotonie beschreibt eine Folge, indem sie angibt, ob die Folge wächst, also jedes Glied größer wird, oder zumindest gleich bleibt, oder fällt. Dabei darf kein Glied plötzlich in die andere Richtung gehen und dann wieder zurück, es muss wirklich jedes weitere Element größer bzw kleiner oder gleich bleiben. Definition: