Ergebnis und Ergebnisraum / Ergebnismenge
Ergebnis ω
Das, was bei einem Zufallsexperiment rauskommen kann, nennt man Ergebnis. Das mathematische Symbol für Ergebnis ist "Klein-Omega" -> ω.
Beispiele für Ergebnisse:
- Beim Werfen einer Münze:
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- mögliches Ergebnis ist dabei Kopf. Ein anderes wäre Zahl.
- schreiben könnte man die Ergebnisse so: ω=K (für das Ergebnis Kopf)
- Werfen eines Würfels
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- mögliches Ergebnis ist zum Beispiel: es wird eine 1 gewürfelt (ω=1). Andere Ergebnisse wären 2, 3, 4, 5 oder 6.
Ergebnisraum Ω
Im Ergebnisraum Ω, oder auch Ergebnismenge sind dann einfach alle möglichen Ergebnisse, die beim Durchführen des Experiments rauskommen können. Das Symbol für den Ergebnisraum ist "Groß-Omega" Ω.
Beispiele:
- Würfeln
-
- ein Ergebnis ist zum Beispiel, wenn man 6 würfelt.
- im Ergebnisraum sind dann alle möglichen Ergebnisse, die beim Würfeln rauskommen können: Ω={1; 2; 3; 4; 5; 6}
- Münze Werfen
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- Ergebnis ist entweder Kopf oder Zahl
- der Ergebnisraum ist dann Ω={Kopf; Zahl}
- gleichzeitiger Münzwurf mit zwei unterscheidbaren Münzen (z.B. kleine und große Münze)
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- der Ergebnisraum: Ω = {Kk, Kz, Zz, kZ}; (K = Kopf, Z = Zahl (große Münze); k = Kopf, z = Zahl (kleine Münze))
Arten von Ergebnisräumen:
- Endlicher Ergebnisraum
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- Man kann die Anzahl der Ergebnisse Zählen
- Es lässt sich eine obere Grenze angeben, wie viele Ergebnisse es gibt
- Beispiele:
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- Werfen von einer Münze, denn es hat 2 mögliche Ergebnisse, die kann man ja zählen, nämlich 2. Die obere Grenze der Anzahl an Ergebnissen ist ja auch 2, es kann schließlich nicht mehr rauskommen.
- Würfeln, denn es gibt 6 mögliche Ergebnisse, die kann man auch zählen und die obere Grenze an möglichen Ergebnissen ist 6.
- Abzählbar-unendlicher Ergebnisraum
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- Man kann die Anzahl an Ergebnissen Zählen
- Man kann keine obere Grenze angeben, wie viele Ergebnisse es gibt
- Beispiele:
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- Werfen einer Münze bis Kopf kommt, denn man kann die Anzahl der Ergebnisse abzählen, aber man kann keine obere Grenze angeben, denn es könnte theoretisch Tausende versuche brauchen bis Kopf kommt.
- Anzahl der geschriebenen Mathe-Tests, bis man eine 1 bekommt, denn man kann abzählen, wie viele Test geschrieben wurde, bis man eine 1 bekommen hat, aber man kann keine obere Grenze angeben, wie viele versuche man brauchen wird, bis das passiert.
- Überabzählbar-unendlicher Ergebnisraum
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- Man kann die Elemente in diesem Ergebnisraum nicht zählen
- Beispiele:
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- Wie viel Zeit man braucht, um eine Mathehausaufgabe zu lösen, denn das könnt ihr ja schlecht zählen. Es kann von 10 Sekunden bis zur Unendlichkeit sein :o
- Tipp: wenn alle reellen Zahlen im Ergebnisraum vorkommen, wie bei der Zeit, denn es können auch ewige Kommazahlen rauskommen, dann ist es ein überabzählbar-unendlicher Ergebnisraum, denn die Reellen Zahlen sind überabzählbar-unendlich, zwischen zwei dieser Zahlen, liegen unendlich weitere Zahlen, man kann ja immer weiter eine Zahl ans Komma dranhängen, daher überabzählbar-unendlich ;)
Mächtigkeit des Ergebnisraums |Ω|
Die Mächtigkeit des Ergebnisraums ist die Anzahl der Ergebnisse, die rauskommen können. Die Schreibweise ist das Symbol des Ergebnisraums mit jeweils einem senkrechten Strich vor und nach dem Symbol: |Ω|
- die Mächtigkeit des Ergebnisraums vom Würfeln ist 6, da es 6 mögliche Ergebnisse gibt, geschrieben wird es: |Ω|=6
- Beim Münzwerfen ist die Mächtigkeit des Ergebnisraums 2, da 2 Ergebnisse rauskommen können, nämlich Kopf und Zahl: |Ω|=2
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