Binomische Formeln - Beispiele und Aufgaben
Die binomischen Formeln sind dafür da, um Binome leichter ausrechnen zu können, ohne umständlich ausmultiplizieren zu müssen. Hier findet ihr eine Übersicht mit Erklärung und Beispielen:
1. Binomische Formel
Die erste binomische Formel sieht so aus (Merkmal: ein Plus in der Klammer):
(a+b)2 = a2+2ab+b2
Beispiel:
(3x+4)2 = (3x)2+2·3x·4+42 = 9x2+24x+16
Herleitung: Nur wie kommt man auf die Formel? Hergeleitet wird die Formel, indem man die Klammern ausmultipliziert. Denn die binomischen Formeln sind dafür da, euch diesen mühsamen Schritt zu erleichtern. Das "hoch 2" der Klammer bedeutet, dass zwei gleiche Klammern miteinander multipliziert werden. Diese werden anschließend ausmultipliziert und so erhält man die binomische Formel:
(a+b)2 = (a+b)∙(a+b)
= a∙a + a∙b + b∙a + b∙b = a2+2ab+b2
Aufgaben mit Lösungen:
Hier sind Aufgaben, mit denen ihr üben könnt.
| (4x+2)2 | Einblenden | |
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Lösung: (4x+2)2 =(4x)2+2·4x·2+22 =16x2+16x+4 |
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| (2x+3)2 | Einblenden | |
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Lösung: (2x+3)2 =(2x)2+2·2x·3+32 =4x2+12x+9 |
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2. Binomische Formel
Die zweite binomische Formel sieht so aus (Merkmal: ein - in der Klammer):
(a-b)2 = a2-2ab+b2
Beispiel:
(3x-4)2 = (3x)2-2·3x·4+42 = 9x2-24x+16
Herleitung: Die Herleitung der zweiten binomischen Formel funktioniert genauso wie die der ersten. Man multipliziert die beiden Klammern aus. Dabei muss man aber immer auf die Vorzeichen achten. Wie ihr beim Ausklammern feststellt, kommt das Plus vor dem b2 dadurch, dass das b in beiden Klammern ein Minus als Vorzeichen hat (Minus mal Minus ist Plus):
(a-b)2 = (a-b)∙(a-b)
= a∙a - a∙b - b∙a + b∙b = a2-2ab+b2
Aufgaben mit Lösungen:
Hier sind Aufgaben, die ihr lösen, oder einfach angucken könnt.
| (2x-3)2 | Einblenden | |
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Lösung: (2x-3)2 =(2x)2-2·2x·3+32 =4x2-12x+9 |
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| (x-2)2 | Einblenden | |
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Lösung: (x-2)2 =x2-1·2x·2+22 =x2-4x+4 |
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3. Binomische Formel
Die dritte binomische Formel sieht so aus (Merkmal: Zwei Klammern mit den selben Zahlen, welche nur einmal + und einmal - genommen werden):
(a+b)·(a-b) = a2-b2
Beispiel:
(2x+1)·(2x-1) = (2x)2-12 = 4x2-1
Herleitung: Die Herleitung der dritten binomischen Formel erfolgt ebenfalls über das ausklammern. Wie bei der zweiten ist auch hier die Beachtung der Vorzeichen wichtig. Denn aufgrund der unterschiedlichen Vorzeichen in den Klammern fällt der mittlere Teil weg:
(a+b)·(a-b) = a·a - a·b + a·b - b·b =a2-b2
Aufgaben mit Lösungen:
Hier sind Aufgaben, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
| (x-2)·(x+2) | Einblenden | |
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Lösung: (x-2)·(x+2) =x2-22 =x2-4 |
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| (4x-3)·(4x+3) | Einblenden | |
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Lösung: (x-2)·(x+2) =(4x)2-32 =16x2-9 |
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Binomische Formeln für hoch 3
Es gibt auch eine binomische Formel für Klammern mit hoch 3:
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
Binomische Formeln für hoch 4 und hoch 5
Die binomischen Formeln für hoch 4 und 5 seht ihr hier:
hoch 4:
(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a-b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
hoch 5:
(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a-b)5 = a5 - 5a4b + 10a3b2 - 10a2b3 + 5ab4 - b5
Aufgaben zum üben
Aufgaben zu diesem Thema findet ihr über den Button unten. Ihr könnt sie euch kostenlos downloaden und zum Üben verwenden.