Logarithmusfunktion - Erklärung und Eigenschaften
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und sieht folgendermaßen aus (Hier geht´s zum Artikel über den Logarithmus):
y=logax
- Ist a zwischen 0 und 1, ist es eine fallende Kurve
- Ist a größer als 1, so ist es eine steigende Kurve
Hier seht ihr zwei Logarithmusfunktionen, dabei ist die Grüne y=log2x, die rote ist y=log5x und die blaue ist y=log0,5x.
Wie ihr seht, steigt der Graph bei größerer Basis langsamer als mit einer kleineren. Auch gut zu erkennen ist, dass die Graphen nicht im negativen liegen.
Dabei dürfen für a alle positiven Zahlen außer die 1 eingesetzt werden und für x alle positiven Zahlen. Wieso das so ist, erkennt man besser daran, wie der Logarithmus definiert ist (Hier mehr zum Logarithmus):
y=logax ⇒ ay=x
Wie ihr seht, könnt ihr mit dem Logarithmus ausrechnen "a hoch was ergibt x?".
Weitere Eigenschaften
- y-Achse ist eine senkrechte Asymptote
-
Gemeinsamer Punkt bei (1|0)
Definitions- und Wertemenge
Mehr zum Thema Definitions- und Wertemenge
- Definitionsbereich: D=ℝ+
- Wertemenge: W=ℝ
Nullstelle
Mehr zum Thema Nullstellen.
- Die Nullstelle der Logarithmusfunktion ist, falls sie nicht verschoben wurde, bei x=1.
Monotonie
Mehr zur Monotonie.
- die Logarithmusfunktion ist für 0<a<1 streng monoton fallend
- und für a>1 streng monoton steigend.
Grenzwerte
Mehr zu Grenzwerten.
- Für 0<a<1, sind die Grenzwerte:
-
- für x gegen 0 -> +Unendlich
- für x gegen +Unendlich -> -Unendlich
- Für 0<a<1, sind die Grenzwerte:
-
- für x gegen 0 -> -Unendlich
- für x gegen +Unendlich -> +Unendlich